TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Triángulos rectángulos notables

Dos triángulos rectángulos notables básicos en geometría se deducen fácilmente del cuadrado y el triángulo equilátero.

1. Consideremos un cuadrado de lado 1 unidad, entonces, cualquier diagonal del cuadrado divide a un ángulo recto (90°) en 2 ángulos iguales de 45°. La hipotenusa se calcula con el teorema de Pitágoras.

2. Consideremos un triángulo equilátero de lado 2 unidades, entonces, la altura divide al ángulo de 60° en dos ángulos iguales de 30°, y la altura se calcula también con el teorema de Pitágoras.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE LADOS ENTEROS

Consideremos el siguiente triángulo rectángulo con lados en función de m y n ( m > n ):

Podemos tabular distintos valores de los lados y ángulos para distintos valores de m y n.
Tabulando en una hoja de cálculo obtenemos:

Observaciones
1. Se obtienen triángulos básicos o principales (en negrita) y algunos múltiplos de estos triángulos.
2. Los ángulos aproximados como el de 37° y 53° se utilizan con frecuencia.
3. Se muestra el error porcentual en la aproximación del ángulo.
4. Para ciertos ángulos se obtienen valores exactos expresados en otros radicales, mediante las identidades trigonométricas. (22°30'; 26°30'; 18°30')


OTROS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES .
(ángulos aproximados)

Propiedades del TRN de 15° y 75°

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

(EN CONSTRUCCION)

DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes cuando tienen sus lados y sus ángulos congruentes de dos en dos.
A ángulos congruentes se oponen lados congruentes

FIGURA

CASOS DE CONGRUENCIA

1. ALA      2. LAL      3. LLL      4. ALL



FIGURAS

En triángulos rectángulos

5. Hipotenusa + Cateto

6. Hipotenusa + Ángulo

FIGURAS


TEOREMAS

1. De la Bisectriz de un ángulo
Todo punto en la bisectriz equidista de los lados del ángulo.

FIGURA

2. De la Mediatriz de un segmento
Todo punto en la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.

FIGURA

3. De los segmentos de rectas paralelas
Cuatro rectas paralelas dos a dos forman segmentos congruentes.

FIGURA

4. De los puntos medios en un triángulo.
Al trazar por el punto medio de un lado, una paralela a otro lado, ésta corta al tercer lado en su punto medio y el segmento es la mitad del lado paralelo.

FIGURA

5. De la mediana del triángulo rectángulo
La mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la hipotenusa, y forma dos triángulos isósceles en en el triángulo rectángulo.

FIGURA



TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Los triángulos rectángulos notables básicos en geometría se deducen fácilmente del cuadrado y el triángulo equilátero.

1. Consideremos un cuadrado de lado 1 unidad, entonces, cualquier diagonal del cuadrado divide a un ángulo recto (90°) en 2 ángulos iguales de 45°. La hipotenusa se calcula con el teorema de Pitágoras.

2. Consideremos un triángulo equilátero de lado 2 unidades, entonces, la altura divide al ángulo de 60° en dos ángulos iguales de 30°, y la altura se calcula también con el teorema de Pitágoras.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE LADOS ENTEROS

Consideremos el siguiente triángulo rectángulo con lados en función de m y n ( m > n ):

Por lo tanto podemos tabular distintos valores de los lados y ángulos para distintos valores de m y n.
Tabulando en una hoja de cálculo obtenemos:

Hay que observar que

TRIANGULOS

(EN CONSTRUCCIÓN)

DEFINICIÓN:
Un triángulo es una figura plana con tres segmentos de recta con distintas direcciones como fronteras, llamados lados.
La suma de las medidas de sus tres lados constituye el perímetro que es la longitud de la frontera.

CLASIFICACIÓN

Por sus ángulos:
      Acutángulo: triángulo con sus tres ángulos interiores agudos. (menores que 90°)
      Rectángulo: triángulo con un ángulo interior recto.  (igual a 90°)
      Obtusángulo: triángulo con un ángulo interior obtuso. (mayor que 90°)

Por sus lados:
      Escaleno: con tres lados y tres ángulos no congruentes.
      Isósceles: con dos lados congruentes y dos ángulos congruentes adyacentes a la base.
      Equilátero: con tres lados congruentes.

RECTAS EN EL TRIANGULO
Se consideran los segmentos de un vértice al lado opuesto.

Bisectriz interior: Segmento de bisectriz de un vértice al lado opuesto.
Bisectriz exterior: Segmento de bisectriz de un vértice a la prolongación del lado opuesto.
Ceviana interior: Cualquier segmento de un vértice al lado opuesto.
Ceviana exterior: Cualquier segmento de un vértice a la prolongación del lado opuesto.
Altura: Perpendicular de un vértice al lado opuesto
Mediana: Segmento de un vértice al punto medio del lado opuesto
Mediatriz: perpendicular que pasa por el punto medio de un lado.

TEOREMAS

Angulo exterior: 

Suma de dos ángulos exteriores:

Desigualdad triangular: 
En todo triángulo, cualquier lado es mayor que la diferencia y menor que la suma de los otros dos lados.

Teorema del lado mayor:
Si los lados no son congruentes, al mayor lado se le opone el mayor ángulo.


Teorema de las bisectrices interiores
El ángulo que forman dos bisectrices interiores en un triángulo, tiene una medida igual a 90° mas la mitad del tercer ángulo.

Teorema de las bisectrices exteriores
El ángulo que forman dos bisectrices interiores en un triángulo, tiene una medida igual a 90° menos la mitad del tercer ángulo.

Teorema: bisectriz interior y bisectriz exterior
El ángulo que forman una bisectriz interior con una bisectriz exterior tiene una medida igual a la mitad del otro ángulo.

Teorema de las dos alturas
Dos alturas en un triángulo forman un ángulo de medida suplementaria al tercer ángulo.

Teorema de la altura y la bisectriz interior que parten de un mismo vértice.
Una altura y una bisectriz interior que parten de un mismo vértice, forman un ángulo cuya medida es igual a la semidiferencia de las medidas de los otros dos ángulos.

Teorema del cuadrilátero no convexo
La medida del ángulo convexo exterior es igual a la suma de los otros tres ángulos interiores.

Propiedad

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO.

(EN CONSTRUCCIÓN)

RECTAS OBLICUAS
Dos rectas en un plano son oblicuas si son secantes, y en el punto de corte se forman cuatro ángulos no rectos.
                                              b

a

RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas en un plano son perpendiculares si en el punto de corte se forman cuatro ángulos rectos.

                                                                            b

a

RECTAS PARALELAS
Dos rectas en un plano son paralelas si no son secantes, es decir no se cortan en ningún punto, es decir siempre mantienen la misma distancia entre sí.

ÁNGULOS FORMADOS POR UNA SECANTE TRANSVERSAL
A DOS RECTAS NO PARALELAS

Ángulos externos: a, b, g, h.
Ángulos internos: c, d, e, f.
Ángulos alternos externos: a-h, b-g
Ángulos alternos internos: c-f; d-e
Ángulos correspondientes: a-e; b-f; c-g; d-h.
Ángulos conjugados externos: a-g; b-h.
Ángulos conjugados internos: c-e, d-f

ÁNGULOS FORMADOS POR UNA TRANSVERSAL (SECANTE)
A DOS RECTAS PARALELAS

Existe congruencia entre las medidas de los siguientes ángulos:

a) Ángulos alternos externos. a=h; b=g.
b) Ángulos alternos internos. c=f; d=e.
c) Ángulos correspondientes. a=e; b=f; c=g; d=h

Existe suplementaridad entre los siguientes ángulos
d) Ángulos externos: a+b=180°; g+h=180°
e) Ángulos internos: c+d=180°; e+f=180°

Explicaciones sugeridas en vídeo:

Ángulos 3: líneas paralelas, transversales (secantes), intersección. (ejercicios 3)

Ángulos 4: ángulos formados por paralelas y una transversal.

Ángulos 5: ejemplo sobre ángulos formados por paralelas y una transversal
Juego de los ángulos: ejercicio sobre las propiedades anteriores. (mas ejercicios)


ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

PROPIEDADES