CIRCUNFERENCIA

DEFINICIONES:
1. Lugar geométrico del conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo denominado centro, este conjunto de puntos determinan una línea curva cerrada.

2. Los puntos encerrados por la circunferencia determinan una región interior a la circunferencia.

3. El conjunto de puntos fuera de la circunferencia determinan una región exterior a la circunferencia.

ELEMENTOS:
Centro
Diámetro
Radio
Secante
Cuerda
Flecha (sagita)
Arco
Tangente


PROPIEDADES:
1. El radio es perpendicular a la tangente
2. Dos cuerda paralelas forman arcos congruentes.
3. A dos arcos congruentes les corresponden dos cuerdas congruentes.
4. Las únicas dos tangentes que se pueden trazar de un punto exterior a una circunferencia son congruentes.
5. Las tangentes comunes exteriores a dos circunferencias son congruentes.
6. Las tangentes comunes interiores a dos circunferencias son congruentes.


DEFINICIONES Y TEOREMAS.

Circunferencia inscrita: Es la circunferencia tangente a los tres lados del triángulo que la inscribe.

Teorema de Poncelet: En todo triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de los catetos es igual a la longitud de la hipotenusa, más el doble del radio de la circunferencia inscrita.

Cuadrilátero circunscrito: Sus cuatro lados son tangentes a la circunferencia que inscribe.

Teorema de Pitot: En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de dos lados opuestos, e igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados opuestos.

Cuadrilátero ex-inscrito: Es el cuadrilátero cuyas 4 prolongaciones son tangentes a una circunferencia.

Teorema de Steiner: En todo cuadrilátero ex-inscrito a una circunferencia, la diferencia de las longitudes de dos lados opuestos, es igual a la diferencia de las longitudes de los otros dos lados opuestos.


PROPIEDADES ( p = semiperímetro ).

1. En todo triángulo circunscrito a una circunferencia:

                                                                                               AP = p ─ a.

2. En toda circunferencia ex-inscrita relativa a uno de los lados de un triángulo:

                   BP = p - AB    y    AQ = p.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Triángulos rectángulos notables

Dos triángulos rectángulos notables básicos en geometría se deducen fácilmente del cuadrado y el triángulo equilátero.

1. Consideremos un cuadrado de lado 1 unidad, entonces, cualquier diagonal del cuadrado divide a un ángulo recto (90°) en 2 ángulos iguales de 45°. La hipotenusa se calcula con el teorema de Pitágoras.

2. Consideremos un triángulo equilátero de lado 2 unidades, entonces, la altura divide al ángulo de 60° en dos ángulos iguales de 30°, y la altura se calcula también con el teorema de Pitágoras.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE LADOS ENTEROS

Consideremos el siguiente triángulo rectángulo con lados en función de m y n ( m > n ):

Podemos tabular distintos valores de los lados y ángulos para distintos valores de m y n.
Tabulando en una hoja de cálculo obtenemos:

Observaciones
1. Se obtienen triángulos básicos o principales (en negrita) y algunos múltiplos de estos triángulos.
2. Los ángulos aproximados como el de 37° y 53° se utilizan con frecuencia.
3. Se muestra el error porcentual en la aproximación del ángulo.
4. Para ciertos ángulos se obtienen valores exactos expresados en otros radicales, mediante las identidades trigonométricas. (22°30'; 26°30'; 18°30')


OTROS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES .
(ángulos aproximados)

Propiedades del TRN de 15° y 75°

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

(EN CONSTRUCCION)

DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes cuando tienen sus lados y sus ángulos congruentes de dos en dos.
A ángulos congruentes se oponen lados congruentes

FIGURA

CASOS DE CONGRUENCIA

1. ALA      2. LAL      3. LLL      4. ALL



FIGURAS

En triángulos rectángulos

5. Hipotenusa + Cateto

6. Hipotenusa + Ángulo

FIGURAS


TEOREMAS

1. De la Bisectriz de un ángulo
Todo punto en la bisectriz equidista de los lados del ángulo.

FIGURA

2. De la Mediatriz de un segmento
Todo punto en la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.

FIGURA

3. De los segmentos de rectas paralelas
Cuatro rectas paralelas dos a dos forman segmentos congruentes.

FIGURA

4. De los puntos medios en un triángulo.
Al trazar por el punto medio de un lado, una paralela a otro lado, ésta corta al tercer lado en su punto medio y el segmento es la mitad del lado paralelo.

FIGURA

5. De la mediana del triángulo rectángulo
La mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la hipotenusa, y forma dos triángulos isósceles en en el triángulo rectángulo.

FIGURA



TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Los triángulos rectángulos notables básicos en geometría se deducen fácilmente del cuadrado y el triángulo equilátero.

1. Consideremos un cuadrado de lado 1 unidad, entonces, cualquier diagonal del cuadrado divide a un ángulo recto (90°) en 2 ángulos iguales de 45°. La hipotenusa se calcula con el teorema de Pitágoras.

2. Consideremos un triángulo equilátero de lado 2 unidades, entonces, la altura divide al ángulo de 60° en dos ángulos iguales de 30°, y la altura se calcula también con el teorema de Pitágoras.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE LADOS ENTEROS

Consideremos el siguiente triángulo rectángulo con lados en función de m y n ( m > n ):

Por lo tanto podemos tabular distintos valores de los lados y ángulos para distintos valores de m y n.
Tabulando en una hoja de cálculo obtenemos:

Hay que observar que

TRIANGULOS

(EN CONSTRUCCIÓN)

DEFINICIÓN:
Un triángulo es una figura plana con tres segmentos de recta con distintas direcciones como fronteras, llamados lados.
La suma de las medidas de sus tres lados constituye el perímetro que es la longitud de la frontera.

CLASIFICACIÓN

Por sus ángulos:
      Acutángulo: triángulo con sus tres ángulos interiores agudos. (menores que 90°)
      Rectángulo: triángulo con un ángulo interior recto.  (igual a 90°)
      Obtusángulo: triángulo con un ángulo interior obtuso. (mayor que 90°)

Por sus lados:
      Escaleno: con tres lados y tres ángulos no congruentes.
      Isósceles: con dos lados congruentes y dos ángulos congruentes adyacentes a la base.
      Equilátero: con tres lados congruentes.

RECTAS EN EL TRIANGULO
Se consideran los segmentos de un vértice al lado opuesto.

Bisectriz interior: Segmento de bisectriz de un vértice al lado opuesto.
Bisectriz exterior: Segmento de bisectriz de un vértice a la prolongación del lado opuesto.
Ceviana interior: Cualquier segmento de un vértice al lado opuesto.
Ceviana exterior: Cualquier segmento de un vértice a la prolongación del lado opuesto.
Altura: Perpendicular de un vértice al lado opuesto
Mediana: Segmento de un vértice al punto medio del lado opuesto
Mediatriz: perpendicular que pasa por el punto medio de un lado.

TEOREMAS

Angulo exterior: 

Suma de dos ángulos exteriores:

Desigualdad triangular: 
En todo triángulo, cualquier lado es mayor que la diferencia y menor que la suma de los otros dos lados.

Teorema del lado mayor:
Si los lados no son congruentes, al mayor lado se le opone el mayor ángulo.


Teorema de las bisectrices interiores
El ángulo que forman dos bisectrices interiores en un triángulo, tiene una medida igual a 90° mas la mitad del tercer ángulo.

Teorema de las bisectrices exteriores
El ángulo que forman dos bisectrices interiores en un triángulo, tiene una medida igual a 90° menos la mitad del tercer ángulo.

Teorema: bisectriz interior y bisectriz exterior
El ángulo que forman una bisectriz interior con una bisectriz exterior tiene una medida igual a la mitad del otro ángulo.

Teorema de las dos alturas
Dos alturas en un triángulo forman un ángulo de medida suplementaria al tercer ángulo.

Teorema de la altura y la bisectriz interior que parten de un mismo vértice.
Una altura y una bisectriz interior que parten de un mismo vértice, forman un ángulo cuya medida es igual a la semidiferencia de las medidas de los otros dos ángulos.

Teorema del cuadrilátero no convexo
La medida del ángulo convexo exterior es igual a la suma de los otros tres ángulos interiores.

Propiedad

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO.

(EN CONSTRUCCIÓN)

RECTAS OBLICUAS
Dos rectas en un plano son oblicuas si son secantes, y en el punto de corte se forman cuatro ángulos no rectos.
                                              b

a

RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas en un plano son perpendiculares si en el punto de corte se forman cuatro ángulos rectos.

                                                                            b

a

RECTAS PARALELAS
Dos rectas en un plano son paralelas si no son secantes, es decir no se cortan en ningún punto, es decir siempre mantienen la misma distancia entre sí.

ÁNGULOS FORMADOS POR UNA SECANTE TRANSVERSAL
A DOS RECTAS NO PARALELAS

Ángulos externos: a, b, g, h.
Ángulos internos: c, d, e, f.
Ángulos alternos externos: a-h, b-g
Ángulos alternos internos: c-f; d-e
Ángulos correspondientes: a-e; b-f; c-g; d-h.
Ángulos conjugados externos: a-g; b-h.
Ángulos conjugados internos: c-e, d-f

ÁNGULOS FORMADOS POR UNA TRANSVERSAL (SECANTE)
A DOS RECTAS PARALELAS

Existe congruencia entre las medidas de los siguientes ángulos:

a) Ángulos alternos externos. a=h; b=g.
b) Ángulos alternos internos. c=f; d=e.
c) Ángulos correspondientes. a=e; b=f; c=g; d=h

Existe suplementaridad entre los siguientes ángulos
d) Ángulos externos: a+b=180°; g+h=180°
e) Ángulos internos: c+d=180°; e+f=180°

Explicaciones sugeridas en vídeo:

Ángulos 3: líneas paralelas, transversales (secantes), intersección. (ejercicios 3)

Ángulos 4: ángulos formados por paralelas y una transversal.

Ángulos 5: ejemplo sobre ángulos formados por paralelas y una transversal
Juego de los ángulos: ejercicio sobre las propiedades anteriores. (mas ejercicios)


ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

PROPIEDADES

ANGULOS

Definición: es la abertura formada por dos rayos con el mismo origen.

Elementos:

La medida un ángulo se realiza, de modo común, con un transportador graduado en grados sexagesimales. Frecuentemente al resolver un problema tendremos que  encontrar uno o más ángulos desconocidos y habrá que asignarles distintas variables para lo cual es usual designarlas por letras griegas minúsculas, en la abertura del ángulo, es decir:

Lo que expresamos con la medida de un angulo es cuanto mide la abertura entre los dos rayos que forman el ángulo. De forma particular, se tendrá que considerar un signo para esa medida si se le da un sentido a la flecha que indica el ángulo.

De modo más formal: 

Definición: Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.

Definición: Un ángulo es dividido en dos mitades iguales por otro rayo con el mismo origen denominado bisectriz.

Clasificación por su Medida

ANGULO NULO: Sus lados inicial y terminal son coincidentes, el lado terminal no ha girado

ANGULO LLANO: Sus lados inicial y terminal son opuestos.

ANGULO DE UNA VUELTA: Sus lados coinciden después que el lado terminal ha girado hasta alcanzar al lado inicial.

ÁNGULOS CONVEXOS:

      Angulo AGUDO: Sus lados (inicial y final) forman un angulo menor a 90°.

      Angulo RECTO: Sus lados inicial y final forman un angulo igual a 90°.

     * Por convención está aceptado colocar un pequeño cuadrado en el origen para designar 90°

      Angulo OBTUSO: Sus lados forman un angulo mayor a 90° pero menor a 180°.

Clasificación por su Posición Relativa

ÁNGULOS ADYACENTES: 

Tienen en común el vértice y un lado común intermedio.

ÁNGULOS CONSECUTIVOS: 

Son dos o más ángulos adyacentes uno después del otro.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: 

Al prolongar los lados inicial y terminal de un ángulo dado 

se obtiene un ángulo congruente con dicho ángulo.

COMPLEMENTO DE UN ÁNGULO

      Si un ángulo es  X°  entonces su complemento es: 90° ─ X°

      y a ambos se les llama complementarios.

      Ejemplo: el complemento de 37° es  90° ─ 37° = 53°

SUPLEMENTO  DE UN ÁNGULO

      Si un ángulo es  X°  entonces su suplemento es: 180° ─ X°

      y a ambos se les llama suplementarios.

      Ejemplo: el suplemento de 123° es  180° ─ 123° = 57°

Observacion:

TEOREMA: "Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman un ángulo de 90°.

Explicaciones en vídeo:

1. Introducción a ángulos (link a ejercicios básicos)

2. Ángulos 2: ángulos suplementarios y complementarios. (ejercicios 2)