ANGULOS

Definición: es la abertura formada por dos rayos con el mismo origen.

Elementos:

La medida un ángulo se realiza, de modo común, con un transportador graduado en grados sexagesimales. Frecuentemente al resolver un problema tendremos que  encontrar uno o más ángulos desconocidos y habrá que asignarles distintas variables para lo cual es usual designarlas por letras griegas minúsculas, en la abertura del ángulo, es decir:

Lo que expresamos con la medida de un angulo es cuanto mide la abertura entre los dos rayos que forman el ángulo. De forma particular, se tendrá que considerar un signo para esa medida si se le da un sentido a la flecha que indica el ángulo.

De modo más formal: 

Definición: Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.

Definición: Un ángulo es dividido en dos mitades iguales por otro rayo con el mismo origen denominado bisectriz.

Clasificación por su Medida

ANGULO NULO: Sus lados inicial y terminal son coincidentes, el lado terminal no ha girado

ANGULO LLANO: Sus lados inicial y terminal son opuestos.

ANGULO DE UNA VUELTA: Sus lados coinciden después que el lado terminal ha girado hasta alcanzar al lado inicial.

ÁNGULOS CONVEXOS:

      Angulo AGUDO: Sus lados (inicial y final) forman un angulo menor a 90°.

      Angulo RECTO: Sus lados inicial y final forman un angulo igual a 90°.

     * Por convención está aceptado colocar un pequeño cuadrado en el origen para designar 90°

      Angulo OBTUSO: Sus lados forman un angulo mayor a 90° pero menor a 180°.

Clasificación por su Posición Relativa

ÁNGULOS ADYACENTES: 

Tienen en común el vértice y un lado común intermedio.

ÁNGULOS CONSECUTIVOS: 

Son dos o más ángulos adyacentes uno después del otro.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: 

Al prolongar los lados inicial y terminal de un ángulo dado 

se obtiene un ángulo congruente con dicho ángulo.

COMPLEMENTO DE UN ÁNGULO

      Si un ángulo es  X°  entonces su complemento es: 90° ─ X°

      y a ambos se les llama complementarios.

      Ejemplo: el complemento de 37° es  90° ─ 37° = 53°

SUPLEMENTO  DE UN ÁNGULO

      Si un ángulo es  X°  entonces su suplemento es: 180° ─ X°

      y a ambos se les llama suplementarios.

      Ejemplo: el suplemento de 123° es  180° ─ 123° = 57°

Observacion:

TEOREMA: "Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman un ángulo de 90°.

Explicaciones en vídeo:

1. Introducción a ángulos (link a ejercicios básicos)

2. Ángulos 2: ángulos suplementarios y complementarios. (ejercicios 2)

OPERACIONES CON SEGMENTOS

Cuando se tienen uno o más segmentos con longitudes expresadas en determinado sistema de medidas, hay que homogenizar las unidades en dicho sistema utilizando el factor de conversión correspondiente antes de realizar cualquier operación en ellos. Una vez que se tienen las mismas unidades, se podrá operar únicamente con las cifras que expresan las longitudes, pero colocando las unidades correspondientes al dar la respuesta.

PROBLEMAS

Problema 1. Dados los puntos consecutivos A, B, C, D contenidos en una recta,
Hallar CD si C es punto medio de BD  y  B es punto medio de AD = 48. .

Problema 2. Dados los puntos consecutivos A, B, C, D sobre una recta.
Hallar BC  si  AB = 3 • BD   y   AC ─ 3 • CD = 28.

Problema 3. Sean los puntos consecutivos A, B, C, D sobre una recta.
Hallar AD si AC = 12   y   AD + CD = 32.

Problema 4. Si sobre una recta se toman puntos consecutivos A, B, C, D,
Hallar AD  si AD = 6 • BC  y  AB + CD = 50.

Problema 5. Dados los puntos consecutivos A, B, C, contenidos en una recta.
Hallar AB/BC,  si  A + AB = 5 • BC / 4.

Problema 6. Sean los puntos consecutivos A, B, C, D sobre una recta.
Hallar BC, si  C es punto medio de AD  y  BD ─ AB = 18.

Problema 7. Sean los puntos consecutivos A, B, C sobre una recta. AB = 10
Hallar BC, si M es punto medio de AB  y  AB • MC = AC • BC.

Problema 8. Dados los puntos consecutivos A, B, C, D sobre una recta.
Hallar MN, si BC = 4, AD = 18, M es punto medio de AB y N es punto medio de CD.

Problema 9. Sean los puntos consecutivos A, B, C, D sobre una recta.
Hallar AD, si AB = 2 CD  y  3 • AC ─BC = 26.

Problema 10. Si sobre una recta se toman puntos consecutivos A, B, C, D,

Problema 11. Dados los puntos consecutivos A, B, C, D sobre una recta.
Hallar AD, si AC + BD = 52  y  BC = 5 • AD / 8

Problema 12. Dados los puntos consecutivos A, B, M, C sobre una recta.

Problema 13.  Sean los puntos consecutivos A, B, C, D sobre una recta.
Hallar BC, si 3 • CD = 5 • AC  y 3 • BD ─ 5 • AB = 96

Problema 14. Dados los puntos consecutivos A, B, C, sobre una recta.

CONCEPTOS

PUNTO: definimos el Punto como el lugar geométrico donde se intersectan dos lineas.

      Nomenclatura: Se les puede representar por una cruz pequeña (+) o por un punto (•).
      Se les llama por letras mayúsculas.

      Ejemplo: el punto A y el punto B en un gráfico:              A •             o             A +


LINEA: Una línea es una sucesión de puntos (finita o infinita)

   1. (línea) Recta: Una recta es una sucesión infinita de puntos en una misma dirección.
                               Dos puntos determinan una recta. Se utilizan las siguientes notaciones:

      Nomenclatura: Se les representa por una trazo recto con una orientación dada
                               y con flechas en ambos sentidos para indicar su longitud infinita.

      2. (línea) Curva: Es una sucesión de puntos que no siguen una misma dirección.
                                  No hay trozos de rectas.

      3. (línea) Mixta: Es una sucesión de trozos de líneas curvas y rectas.

      4. (línea) Poligonal: Es una sucesión de trozos de recta.

            4a. (línea) Poligonal Convexa: una poligonal es convexa si al trazar una secante
                                                                solo corta en dos puntos a la poligonal.


            4b. (línea) Poligonal No Convexa: al trazar una secante corta en ,más de 2 puntos


PLANO: Es una conjunto de puntos que forman una superficie ilimitada con una misma
               orientación. Determinan un plano: 3 puntos no colineales o 2 rectas secantes.

      Nomenclatura: Se les representa por una letra mayúscula o una letra griega
                               y la vista oblicua de una superficie rectangular.

FIGURA GEOMÉTRICA:
Es un conjunto de puntos con forma, dimensiones y posición se denomina Figura Geométrica.

Clasificación de las figuras geométricas:

1. Figuras semejantes: tienen la misma forma pero diferentes dimensiones,
2. Figuras congruentes: tienen las mismas dimensiones e igual forma.
3. Figuras equivalentes: tienen igual tamaño pero diferente forma.


PARTES DE UNA RECTA:

1. Semirrecta: Al ubicar cualquier punto O en una recta, el punto O (frontera u origen)
                        divide a la recta en dos semirrectas infinitas en sentidos opuestos, que
                         no consideran al punto O.

2. Rayo: Al ubicar cualquier punto O en una recta, el punto O (origen) divide a la recta
               en dos semirrectas infinitas en sentidos opuestos considerando al punto O.

3. Segmento: Es un trozo de recta que comprende todos los puntos entre dos puntos A y B
                      de la recta.

RELACIONES ENTRE FIGURAS GEOMÉTRICAS

1. Congruencia: Dos figuras geométricas son congruentes cuando tienen el mismo tamaño y forma.

2. Semejanza: Dos figuras geométricas son semejantes cuando tienen la misma forma,
                        y diferente tamaño. Ejemplos:
                         • Todos los círculos son semejantes.
                         • Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

3. Equivalencia: Dos figuras geométricas son equivalentes si tienen el mismo tamaño
                            pero diferente forma.

MATEMATICAS 4°: GEOMETRIA

TEMAS DE SESIONES DE CLASE
MATEMÁTICAS - GEOMETRIA

Este blog fue creado con la finalidad de que los alumnos que no pudieran asistir por alguna razón a clases, tengan la posibilidad de revisar los temas tratados en clase el día de su inasistencia. Mas adelante se modificaràn los contenidos con algunas mejoras y extensiones.

DESAFIO
Word Problem. De 1° a 3° Secundaria. Consultar con la profesora del curso de Religión.
(Entregar sus respuestas con la operación completa en el aula de 3° de secundaria.)


1. PUNTO, RECTA, PLANO. Definiciones.
      Figuras Geométricas. Relaciones.
      Líneas. Partes.

2. OPERACIONES CON SEGMENTOS. Ejercicios

3. ÁNGULOS.
      Medida. Congruencia. Bisectriz. Clasificación.
      Complemento y Suplemento de un Ángulo.
      Propiedades. Problemas.

4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO.

      Ángulos formados por una secante que corta dos rectas oblicuas y paralelas.
      Ángulos de lados paralelos y perpendiculares.
      Propiedades. Problemas.

5. TRIÁNGULOS. Definición. Perímetro. Clasificaciones.

6. RECTAS EN EL TRIANGULO.
     Altura. Mediana. Mediatriz. Bisectrices y Cevianas (interior, exterior).
     Problemas.

7. TEOREMAS.
     Suma de ángulos interiores. Suma de ángulos exteriores. Angulo exterior.
     Suma de dos ángulos exteriores. Desigualdad triangular. Teorema del mayor lado.
     Corolarios. Problemas.

8. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS DE UN TRIANGULO
     Teoremas: Bisectrices interiores y exteriores. Alturas. Altura y bisectriz interior.
     Cuadrilátero no convexo. Problemas.

9. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
    Definición. Casos. Triángulos rectángulos. Problemas
    Teoremas: Bisectriz. Mediatriz. Segmentos de retas paralelas. Puntos medios.
    Mediana del triángulo rectángulo. Problemas.

10. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES.
      Triángulos rectángulos notables.
      Triángulos de lados enteros, generalización.
      Triángulos de ángulos aproximados.

11. POLÍGONOS
      Linea poligonal. Definición. Elementos. Clasificación. Propiedades.Problemas.

12. CUADRILÁTEROS.
      Definición. Propiedades. Paralelogramos. Trapecio. Trapezoide. Problemas.

13. CIRCUNFERENCIA.
      Definición.Elementos.Propiedades. Circunferencia inscrita.Cuadrilátero circunscrito y ex-inscrito.
      Teoremas: Poncelet, Pitot, Steiner, Problemas.

14. ARCO CAPAZ. Propiedad. Cuadrilátero inscrito. Cuadrilátero inscriptible.

15. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFRENCIAS
      Circunferencias exteriores, tangentes exteriores, tangentes interiores.
      Circunferencias interiores, secantes, concéntricas, ortogonales. Problemas.

16. PUNTOS NOTABLES
      Baricentro. Ortocentro. Circuncentro. Incentro. Excentro.
      Recta de Euler. Problemas.

17. SEGMENTOS PROPORCIONALES Y SEMEJANZA
      Proporción geométrica. Proporción entre segmentos.
      Teoremas: Paralelas equidistantes, Teormea de Thales, Generalización. Triángulo. Problemas

18. TEOREMA DE LA BISECTRIZ: Bisectriz interior y exterior.
19. TEOREMA DEL INCENTRO. Propiedades. Problemas.

20. SEMEJANZA DE TRIANGULOS
      Definición. Casos. Problemas.
      Teoremas: Menelao. Ceva. División armónica. Problemas.

21. RELACIONES MÉTRICAS
      Proyección ortogonal de un punto y de un segmento.
      Relaciones métricas en los triángulos rectángulos. Problemas.
      Relaciones métricas en los triángulos oblicuángulos. Problemas.
      Relaciones métricas en la circunferencia. Problemas.
      Segundo teorema de la bisectriz. Teorema de Ptolomeo. Teorema e Viette. Problemas.